назад

СОДЕРЖАНИЕ

вперед


3.4 Векторные диаграммы.

В цепях переменного тока все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. Поэтому аналитические зависимости в виде уравнений не дают представления о реальных соотношениях величин. При переходе от оригиналов функций и параметров к их изображениям в виде комплексных чисел задача анализа несущественно упрощается, т.к., в отличие от цепей постоянного тока, где все величины однозначно характеризуются одним числом, в области изображений каждая величина определяется двумя числами, каждое из которых в общем случае недостаточно для полной оценки состояния цепи. Помочь в анализе соотношений между величинами и параметрами электрический цепи может их геометрическое представление в виде векторной диаграммы.

Из курса математики известно, что любое комплексное число может быть изображено в виде точки на плоскости с ортогональной системой координат, в которой на оси абсцисс откладывается вещественная составляющая, а на оси ординат мнимая. Такое изображение соответствует алгебраической форме записи комплексного числа. Если начало координат соединить отрезком прямой с точкой изображающей комплексное число, то длина этого отрезка и его угол с вещественной осью также могут служить изображением комплексного числа. Причем, для однозначного определения угла нужно задать положительное направление отрезка, т.е. определить его как радиус-вектор или просто вектор.

Векторной диаграммой называется совокупность векторов на комплексной плоскости, соответствующая комплексным величинам и/или параметрам электрической цепи и их связям.

Векторные диаграммы могут быть точными и качественными. Точные диаграммы строятся с соблюдением масштабов всех величин по результатам численного анализа. Они предназначены в основном для проверки расчетов. Качественные векторные диаграммы строятся с учетом взаимных связей между величинами и обычно предшествуют расчету или заменяют его. В качественных диаграммах масштаб изображения и конкретные значения величин несущественны, важно только, чтобы в них были правильно отражены все связи между величинами, соответствующие связям и параметрам элементов электрической цепи. Качественные диаграммы являются важнейшим инструментом анализа цепей переменного тока.


В цепях переменного тока одной из самых распространенных задач является анализ поведения цепи при изменении в широких пределах какой-либо величины или параметра.

Пусть, например, требуется исследовать изменение тока в цепи, представленной на рис. 1 а), при постоянном напряжении на входе и изменении резистивного сопротивления в пределах 0 > R > µ .

Падение напряжения на входе уравновешивается суммой падений напряжения на R и L, т.е. u = uR+uL = Ri + Ldi/dt или для изображений

U = UR + UL = RI + jw LI = RI + jXLI.

(1)

Из выражения (1) следует, что

Для упрощения построений, не ограничивая в то же время общности рассуждений, совместим вектор U с вещественной осью (рис. 1 б)). Тогда в соответствии с условиями (1) при любых значениях R векторы UR и UL будут составлять с вектором U прямоугольные треугольники. Как известно, любой треугольник может быть вписан в окружность, причем дуги, на которые опираются углы вписанного треугольника равны двойному значению угла. Так как во всех векторных треугольниках угол между UR и UL равен 90° , то все они опираются на дугу в 180° , т.е. на диаметр, которым является постоянный вектор входного напряжения U. Следовательно, все треугольники векторов UR , UL и U вписываются в одну и ту же полуокружность, которая является геометрическим местом точек перемещения конца вектора UR при всех изменениях значения R.

Векторная диаграмма, в которой при вариации параметров геометрическим местом точек перемещения конца какого-либо вектора является окружность или полуокружность, называется круговой диаграммой.

Так как векторы UR и UL связаны с вектором тока I постоянными коэффициентами, то из круговой диаграммы вектора UR можно получить векторную диаграмму тока и она также будет круговой. Для получения вектора I, в соответствии с выражением (1), достаточно разделить все элементы треугольников UR , UL и U на R или jXL. При этом мы получим подобный треугольник, одним из катетов которого будет I. Однако деление на R нецелесообразно, т.к. эта величина переменная и для сохранения масштаба треугольников следует произвести деление на jXL. В результате диаметр полуокружности станет равным U/XL и она вследствие деления на оператор поворота j повернется относительно начала координат на угол - 90° (рис. 1 в)). Полученная полуокружность и будет круговой диаграммой вектора входного тока I. Из нее можно заключить, что при R = 0 вектор тока отстает от напряжения на 90° и по модулю равен U/XL. При R ® µ модуль и аргумент вектора тока стремятся к нулю.


Другой важной разновидностью векторных диаграмм являются линейные диаграммы.

Линейной диаграммой называется векторная диаграмма, в которой геометрическим местом точек конца какого-либо вектора при вариации параметра является прямая линия.

Примером такой диаграммы может служить диаграмма входного тока I пассивного двухполюсника при постоянном напряжении на входе U=const и изменении его реактивной проводимости в пределах - µ > B > +µ , если активная составляющая проводимости G остается постоянной. Примером электрической цепи с такой вариацией реактивной проводимости является параллельный резонансный контур при вариации частоты 0 < w <µ .

Действительно, активная составляющая тока любого двухполюсника равна Iа=GU, а реактивная Iр=jBU, т.е. эти составляющие всегда перпендикулярны друг другу или, иначе говоря, находятся в квадратуре, т.к. являются производными от одного и того же вектора U, но Iр содержит оператор поворота на 90° - j. Входной ток представляет собой сумму активной и реактивной составляющих I = Iа+ Iр, причем, активная составляющая отличается от вектора U постоянным вещественным множителем G, поэтому всегда совпадает с ним по фазе (рис. 2 б)) и имеет постоянный модуль. Вектор реактивной составляющей имеет переменный модуль - µ < | Iр| < + µ и Iа ^ Iр , следовательно, он будет располагаться на прямой проходящей через начало координат перпендикулярно вектору U . Поэтому суммарный вектор входного тока I при изменении реактивной проводимости будет скользить своим концом по линии перпендикулярной векторам Iа и U и проходящей через конец вектора Iа.


Для качественного анализа электромагнитных процессов в электрической цепи переменного тока можно строить векторные диаграммы, пользуясь только принципиальной схемой.

Построим качественную векторную диаграмму для цепи рис. 3.

Построение всегда можно начинать с произвольно выбранной величины, но т.к. операции суммирования векторов производятся проще, чем операции разложения на составляющие, то лучше в качестве начального вектора выбирать напряжение или ток элемента цепи, расположенного как можно дальше от входа. Тогда входные величины будут получены постепенным сложением векторов.

Пусть вектор тока I5 расположен так, как это показано на рис. 3. Ток I5 протекает в емкости C2, подключенной к узлам b и c цепи. Поэтому Ubc=UC2. Но падение напряжения на емкости отстает от тока в ней на 90° , следовательно, Ubc нужно расположить на луче перпендикулярном вектору I5 и смещенном в сторону отставания, т.е. по часовой стрелке.

Между узлами b и c помимо емкости C2 включена ветвь, содержащая резистор r и индуктивность L. Ток в активно-резистивном двухполюснике отстает от напряжения на некоторый угол j , конкретное значение которого определяется отношением индуктивного сопротивления w L к резистивному r. Поэтому конец вектора тока I4 в r-L ветви рис. 3 может находиться в любой точке сектора комплексной плоскости в 90° , ограниченного лучом совпадающим по направлению с Ubc и перпендикулярным ему лучом, смещенным в сторону отставания. Зададим произвольно точку конца вектора I4 в этом секторе. Тогда падение напряжения на резисторе r должно совпадать по направлению с I4, а падение напряжение на индуктивности L - опережать I4 на 90°, причем в сумме Ur и UL должны быть равны Ubc. Построение векторов Ur и UL, удовлетворяющих этим условиям, проще всего произвести проектированием конца вектора Ubc на направление вектора I4. Тогда вектор, совпадающий с I4 по направлению, будет Ur, а перпендикулярный ему - UL.

Уравнение Кирхгофа для узла b цепи можно записать в виде I3 = I4 + I5, поэтому сложение векторов I4 и I5 по правилу параллелограмма даст нам вектор тока I3, протекающего в резисторе R рис. 3. Падение напряжения на нем UR = Uab, как у любого резистора, будет совпадать по фазе с током, следовательно, его можно построить на луче совпадающем по направлению с I3.

По второму закону Кирхгофа разность потенциалов Uac можно представить суммой Uac = Uab+ Ubc = U. Соответственно, вектор входного напряжения U получается сложением по правилу параллелограмма векторов Uab и Ubc рис. 3. Но Uac= UС1. Следовательно, ток в емкости C1 должен опережать напряжение Uac на 90° , поэтому его нужно построить на луче перпендикулярном Uac и смещенном в сторону опережения.

Для узла a цепи справедливо I1 = I2 + I3. В соответствии с этим равенством входной ток I1 получен геометрическим суммированием векторов I2 и I3.