назад

СОДЕРЖАНИЕ

вперед


3.7 Треугольники напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей.

Как известно, любая электрическая цепь состоит или может быть представлена в виде двухполюсников. Пассивный двухполюсник однозначно определяется значениями тока и напряжения на входе или их отношением.

Пусть через некоторый двухполюсник протекает переменный ток и существует падение напряжения. Изобразим ток и напряжение на входе двухполюсника векторами на комплексной плоскости I и U (рис. 1).

Проектируя вектор U на направление вектора I (рис. 1 а)), получим вектор, модуль которого равен Uа=Ucosj , где j - разность начальных фаз напряжения и тока на входе двухполюсника, причем, направление вектора Uа совпадает с направлением вектора тока, поэтому его запись в показательной форме будет иметь вид

,

(1)

где y i - начальная фаза тока на входе двухполюсника.

Перпендикуляр, опущенный из конца вектора U на направление вектора тока, имеет длину Usinj и может рассматриваться как некоторый вектор Uр , сумма которого с вектором Uа равна U (рис. 1 а)). Его также можно записать в показательной форме в виде

.

(2)

Оператор поворота j в выражении (2) учитывает перпендикулярное положение вектора Uр по отношению к I и условие Uа + Uр = U.

Так как по построению векторы Uа и Uр в сумме равны U, то из выражений (1) и (2) вектор напряжения на входе двухполюсника можно представить как

.

(3)

Разделим выражение (3) на модуль вектора тока

.

(4)

Выражение (4) соответствует представлению на комплексной плоскости вектора Z, равного комплексному сопротивлению двухполюсника и развернутого относительно вещественной оси на угол yi. При этом вектор Zejj e jy i=Zej(y u- y i+y i)= Ze jy u образует с вещественной осью комплексной плоскости угол yu , т.е. оказывается совпадающим по направлению с вектором U.

Сравнивая вещественные и мнимые части выражений (3) и (4), можно представить модули составляющих вектора U в виде

,

(5)

т.е. модуль составляющей Uа , называемой активной или резистивной составляющей напряжения на входе двухполюсника, представляет собой падение напряжения на резистивной составляющей его комплексного сопротивления при токе I . Аналогично, модуль вектора Uр , называемого реактивной составляющей входного напряжения, является падением напряжения на реактивной составляющей комплексного сопротивления.

Рассмотренным соотношениям величин соответствует представление двухполюсника последовательным соединением резистора R и реактивного сопротивления X, представленным на рис. 1 а).

Таким образом, вектор падения напряжения на входе двухполюсника может быть представлен двумя составляющими, одна из которых является его проекцией на направление вектора входного тока и называется активной (резистивной) составляющей или активным падением напряжения. Активная составляющая соответствует падению напряжения на резистивном сопротивлении последовательной эквивалентной схемы двухполюсника. Вторая составляющая перпендикулярна вектору тока и соответствует падению напряжения на реактивном сопротивлении последовательной эквивалентной схемы.

Прямоугольные треугольники U UаUр и ZRX (рис. 1 а)) подобны и называются соответственно треугольниками напряжений и сопротивлений.


 ЗАДАЧА 1


 Спроектируем теперь вектор тока I на направление вектора падения напряжения U (рис. 1 б)). Длина проекции будет равна Iа=Icosj , а длина проектирующего перпендикуляра - Iр=Isinj . Представим эти отрезки векторами с учетом того, что Iа совпадает с направлением вектора падения напряжения на входе двухполюсника, а в сумме эти два вектора должны быть равны I . Тогда в показательной форме -

(6)

(7)

Множитель - j является оператором поворота отрезка Iр на 90° в направлении отставания, чтобы обеспечивалось условие Iа + Iр = I .

Представим теперь вектор тока через полученные составляющие

.

(8)

Разделим выражение (8) на модуль вектора U -

.

(9)

Таким образом, из прямоугольного треугольника, составленного из векторов Iа, Iр и I и описанного выражением (8), делением на постоянную величину U всех его сторон мы получили подобный треугольник, описываемый выражением (9). Стороны нового треугольника имеют размерность проводимости и связаны с составляющими вектора тока законом Ома

.

(10)

Следовательно, активную и реактивную составляющую вектора тока можно представить, в виде токов, протекающих через активную (резистивную) проводимость G и реактивную проводимость B эквивалентной параллельной схемы двухполюсника (рис. 1 б)).

Прямоугольные треугольники I IаIр и YGB (рис. 1 б)) подобны и называются соответственно треугольниками токов и проводимостей. Очевидно, что треугольники токов и проводимостей подобны треугольникам напряжений и сопротивлений, т.к. имеют одинаковые углы.

Обобщая понятия составляющих векторов тока и напряжения на входе двухполюсника, можно сделать следующие выводы:


 ЗАДАЧА 2